Inertia Tensor(1)

물리 2012.02.13 00:09 Posted by 물리프로그래머
이번에는 Inertia Tensor에 대해서 설명 드리겠습니다.
Inertia Tensor를 이해하기 위해서는,  운동량(Linear Momentum), 각운동량(Angulra Momentum), 질량중심(Center of Mass)에 대해서 알고 있어야 합니다. 그래서 이 3요소에 대해서 먼저 언급을 한 후에,  Inerta Tensor에 대해 설명 드리겠습니다.


1) 운동량(Linear Momentum)

운동량은 말 그대로 물체가 현재 운동하고 있는 정도를 나타냅니다.
아래의 그림처럼, 질량이 m1, 위치가 p1, 속도가 v1이라 물체가 있을때 이 물체의 운동량은 아래 식과 같습니다.




여기서 ML1은 1번 물체의 운동량(Linear Momentum)을 나타냅니다.
이 운동량을 시간에 대해서 미분하면(시간에 따른 변화를 측정) 아래와 같은 식이 나옵니다.


이 식을 보면, 물체의 운동량을 변화시키기 위해서는 힘이 필요하고, 외부의 힘이 없으면 물체의 운동량은 일정하게 유지 됩니다.
이게 바로 운동량 보존의 법칙입니다.


2) 각운동량(Angular Momentum)

각운동량은 임의의 기준점에 대한, 물체의 회전 운동량을 나타냅니다.
아래의 그림처럼, 질량이 m1, 위치가 p1, 속도가 v1이라 물체가 있을때, p점에서 측정한 이 물체의 각운동량은 아래의 식과 같습니다.




여기서 MA1은 1번 물체의 각운동량(Angular Momentum)을 나타냅니다.
이 각운동량을 시간에 대해서 미분하면(시간에 따른 변화를 측정) 아래와 같은 식이 나옵니다.

 



이 식을 보면, 물체의 각운동량을 변화시키기 위해서는 힘이 필요하고, 외부의 힘이 없으면 물체의 각운동량은 일정하게 유지 됩니다. 이게 바로 각운동량 보존의 법칙입니다.
그리고  각운동량은 운동량과 달리, 아래의 그림처럼 측정 지점에 따라 다르게 나타납니다.




3) 질량중심(Center of mass)
물체(RigidBody)는 아래의 그림처럼 미소질량들의 모임으로 해석할 수 있습니다. 


질량중심은 두가지 의미를 가지고 있습니다.
(1) 물체의 각 미소질량들이 동일한 힘을 받을때,  질량중심은 아래 그림처럼 그 물리량을 대표할 수 있는 하나의 지점을 의미합니다. 미소질량들이 받는 동일한 힘의 대표적인 예가 중력입니다. 질량중심에 반대의 힘을 가하면 물체의 운동량은 정지되게 됩니다. (중심을 잡게 됩니다.)


식으로 나타내면 아래와 같습니다.
여기서 Pc가 구하고자 하는 질량 중심이고, Pxyz는 미소질량의 위치, P는 측정 위치를 나타냅니다.



이식을 풀면, 아래과 같은 식이 나옵니다.


(2) 질량중심에서는 아래의 그림처럼 상대운동(속도, 가속도)이 모두 0이 됩니다.


식으로 나타내면 아래와 같습니다.
아래의 식을 풀어도 (1)과 같은 결과를 얻습니다.


이상으로 운동량, 각운도량, 질량중심에 대한 설명을 마치겠습니다.

 


 

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